有限域上乘积 j-簇的平均与极大平均

我们研究由 $\Pi_j=\{x\in \mathbb F_q^d: \prod_{k=1}^d x_k=j\}$ 定义的乘积 $j$-簇的平均与极大平均问题，其中 $j\in \mathbb F_q^*$，$\mathbb F_q^d$ 表示具有 $q$ 个元素的有限域 $\mathbb F_q$ 上的 $d$ 维向量空间。我们证明了与乘积 $j$-簇相关的平均算子的尖锐 $L^p\to L^r$ 有界性。我们还获得了与一族乘积 $j$-簇 $\{\Pi_j\}_{j\in \mathbb F_q^*}$ 相关的极大平均算子的最优 $L^p$ 估计。