Sierpinski 五边形的平均路径长度

本文基于 Sierpinski 五边形的递归构造与自相似结构，研究其直径与平均路径长度（APL）。我们发现 Sierpinski 五边形的直径即为第 0 代两节点间的最短路径长度。通过推导并求解直径所满足的线性齐次递推关系，我们得到了直径的严格解。我们还得到了 Sierpinski 五边形 APL 的近似解，直径与 APL 均近似以网络阶 $N(t)$ 的幂律函数形式增长，指数为 $\frac{\ln(1+\sqrt{3})}{\ln(5)}$。尽管 APL 的解是近似的，但它是可信的，因为我们已精确计算了 APL 的所有项，除了非相邻分支间总距离的补偿项（$\Delta_{t}$）（$\Lambda_t^{1,3}$），该项是通过最小二乘曲线拟合近似得到的。补偿项（$\Delta_{t}$）仅是非相邻分支间总距离（$\Lambda_t^{1,3}$）的一小部分，对 APL 的影响微乎其微。此外，利用迭代所得数据检验拟合结果，我们发现 $\Delta_{t}$ 的相对误差小于 $10^{-7}$，因此该平均路径长度的近似解几乎是精确的。