通过节点复制增长的 directed 随机网络中最短路径长度分布的解析结果

我们给出了一个通过节点复制增长的 directed 网络模型中最短路径长度分布（DSPL）的精确解析结果。此类模型在研究基因调控网络和科学引文网络的结构与增长动力学中是有用的。从初始种子网络开始，在每个时间步选择一个随机节点（称为母节点）进行复制。其子节点被加入网络，并以概率 $p$ 复制母节点的每条出边。此外，子节点形成一条指向母节点本身的 directed 边。因此，该模型被称为系绳 directed 节点复制（DND）模型。在该网络中，并非所有节点对都由 directed 路径连接，尽管相应的无向网络由单一连通分支组成。更具体地说，在大网络极限下，仅有递减比例的节点对由 directed 路径连接。为计算那些由 directed 路径连接的节点对之间的 DSPL，我们推导了概率 $P_t(L=\ell)$（$\ell=1,2,\dots$，其中 $\ell$ 为最短 directed 路径长度）随时间演化的主方程。求解主方程，我们得到了 $P_t(L=\ell)$ 的闭式表达式。研究发现，时刻 $t$ 的 DSPL 由初始 DSPL $P_0(L=\ell)$ 与泊松分布及若干泊松分布之和的卷积构成。由 directed 路径连接的节点对之间的平均距离 ${\mathbb E}_t[L|L<\infty]$ 被发现对数依赖于网络规模 $N_t$。然而，由于在大网络极限下由 directed 路径连接的节点对比例极小，系绳 DND 网络并非小世界网络，不同于相应的无向网络。