n×n 网格重划选区的渐近性

重划选区（redistricting）是将一个区域划分为若干选区以进行选举代表的行为。受此应用启发，我们研究两个问题。将 $n\times n$ 网格划分为 $n$ 个大小相等的连通选区有多少种方式？其中又有多少划分是“紧凑的”？我们给出了选区方案数的渐近界：下界约为 $1.41^{n^2}$，上界约为 $3.21^{n^2}$。随后我们利用下界证明大多数方案并不紧凑。