关于重划区中一类地理聚类问题的计算易处理性
数据结构与算法
2020-09-02 v1
摘要
重划区（redistricting）是将一个州划分为 个称为选区的区域的问题。每个选区的选民选举一名代表。主要准则是：每个选区连通、选区人口相等（或近乎相等），且选区“紧凑”。紧凑性有多种相互竞争的定义，通常最小化某个量。Duchin 等人近期推崇的一种度量是切边数。在重划区中，给定必须用以构建各选区的原子区域。原子区域的人口已知。考虑一个图：每个原子区域对应一个顶点（权值等于该区域人口），共享边界的原子区域间连边。一个选区划分方案是将顶点划分为 个部分，每部分连通且权值近乎相等。该方案在最小化跨不同部分边数的意义上被视为紧凑。考虑两个问题：求最紧凑的选区划分方案，以及在紧凑性约束下均匀随机地抽样选区划分方案。两个问题均为 NP-hard，因此我们将输入图限制为分支宽度至多 （平面图的支宽受其直径限制）。若 与 均以常数界定，则问题可在多项式时间内求解。假设顶点权值为 1。人们希望算法运行时间为 （其中 为独立于 和 的常数），此时称问题关于 和 是固定参数易处理的。我们证明，在某一复杂性理论假设下，不存在此类算法。但我们给出了运行时间 的算法。因此，若图直径适中较小且选区数极少，我们的算法可用。
引用
@article{arxiv.2009.00188,
title = {On the computational tractability of a geographic clustering problem arising in redistricting},
author = {Vincent Cohen-Addad and Philip N. Klein and Dániel Marx},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.00188},
year = {2020}
}