离散 Schrödinger 算子行列式的渐近行为

我们考虑大型离散 Schrödinger 算子（即“离散 Laplace 算子 $+$ 对角矩阵”）行列式的渐近行为：$$T_n(f) = -[\delta_{j,j+1}+\delta_{j+1,j}] + \mbox{diag}\left(f\left(\frac{1}{n}\right), f\left(\frac{2}{n}\right),\dots, f\left(\frac{n}{n}\right)\right)$$ 我们推广了 M. Kac 的一个结果，他给出了用 $f$ 的值表示的 $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\det(T_n(f))}{G(f)^n}$$ 的公式，其中 $G(f)$ 是一个常数。我们从两个方面推广了这一结果：首先，我们考虑指标的平移：令 $$T_n(f;\varepsilon) = -[\delta_{j,j+1}+\delta_{j+1,j}] + \mbox{diag}\left(f\left(\frac{\varepsilon}{n}\right), f\left(\frac{1+ \varepsilon}{n}\right), \dots, f\left(\frac{n-1+ \varepsilon}{n}\right)\right)$$ 我们计算了 $\lim \det T_n(f;\varepsilon)/G(f)^n$，并证明尽管 $T_n(f;\varepsilon)$ 的渐近特征值分布不依赖于 $\varepsilon$，但通过平移 $\varepsilon$，该极限可以是任意正数。其次，当 $f$ 具有跳跃间断点时，我们推导了 $\det T_n(f)/G(f)^n$ 的渐近行为公式。在这种情况下，渐近行为依赖于 $cn$ 的小数部分，其中 $c$ 是一个间断点。