Ninomiya-Victoir 格式归一化误差的渐近分析

在先前的工作中，我们证明了时间步长为 $T/N$ 的 Ninomiya-Victoir 格式 $X^{NV,\eta}$ 以 $1/2$ 阶强收敛于极限 SDE 的解 $X$。在本文中，我们验证由 $\sqrt{N}\left(X - X^{NV,\eta}\right)$ 定义的归一化误差收敛到一个仿射 SDE，其源项涉及布朗向量场之间的李括号。该极限不依赖于 Rademacher 随机变量 $\eta$。这一结果可视为将 M. Ben Alaya 和 A. Kebaier 针对基于欧拉格式的多层蒙特卡洛估计量导出的 Lindeberg Feller 型中心极限定理适配到 Ninomiya-Victoir 格式的第一步。当布朗向量场对易时，极限消失。这表明此时收敛速率大于 $1/2$，并且我们实际证明了 $1$ 阶强收敛。