一类超几何多项式的渐近零点分布

我们证明了 ${}_2F_1(-n,\frac{n+1}{2};\frac{n+3}{2};z)$ 的零点在 $n\rightarrow \infty$ 时渐近逼近双纽线截面 $\{z: |z(1-z)^2|=4/27; \textrm{Re}(z)>1/3\}$。在近期论文中（参见 \cite{KMF}, \cite{orive}），Martínez-Finkelshtein 和 Kuijlaars 及其合作者使用 Riemann-Hilbert 方法推导了 Jacobi 多项式 $P_n^{(\alpha_n,\beta_n)}$ 的渐近零点分布，其中极限 $\ds A=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\alpha_n}{n}$ 和 $\ds B=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\beta_n}{n}$ 存在且位于 $AB$ 平面内某些特定区域的内部。我们的结果对应于 Kuijlaars-Martínez-Finkelshtein 分类中 Jacobi 多项式的一种过渡或边界情形。