渐近表示论与紧李群上随机几何图谱

设 $G$ 为紧李群，$N\geq 1$ 且 $L>0$。$G$ 上的随机几何图是随机图 $\Gamma(N,L)$，其顶点为在 $G$ 的哈尔测度下选取的 $N$ 个随机点 $g_1,\ldots,g_N$，其边为满足 $d(g_i,g_j)\leq L$ 的点对 $\{g_i,g_j\}$，$d$ 为 $G$ 上标准黎曼结构所关联的距離。本文描述了当 $N$ 趋于无穷时 $\Gamma(N,L)$ 邻接矩阵谱的渐近行为。若 $L$ 固定且 $N \to + \infty$（高斯 regime），则 $\Gamma(N,L)$ 的最大特征值经适当重整化后收敛到某些显式的贝塞尔函数值的线性组合。若 $L = O(N^{-\frac{1}{\dim G}})$ 且 $N \to +\infty$（泊松 regime），则随机几何图 $\Gamma(N,L)$ 在局部 Benjamini-Schramm 意义下收敛，这蕴含 $\Gamma(N,L)$ 谱测度依概率弱收敛。在这两种情形下，群 $G$ 的表示论为我们提供了关于谱极限的信息，反之，该极限谱的计算涉及表示论中的许多经典工具：高斯 regime 中的外尔特征标公式与权格，以及泊松 regime 中这些对象的退化。表示论方法使人能精确理解从高斯到泊松 regime 的退化如何发生，本文的写法旨在凸显这一退化现象。在泊松 regime 下，该方法引导出关于 $G$ 不可约表示某些泛函的一个代数猜想。