大型高斯图模型估计中的渐近正态性与最优性

高斯图模型是研究广泛应用中变量间关系的一种流行范式，近年来引起了极大关注。本文考虑一个基本问题：在大型高斯图模型中，何时可能以参数平方根速率估计低维参数？我们提出了一种新颖的回归方法，在相对于样本量的稀疏性条件下，获得精度矩阵每个元素的渐近有效估计。当精度矩阵不够稀疏，或者等价地样本量不够大时，我们建立了一个下界，表明不再可能在每个元素的估计中达到参数速率。这一下界结果回答了微妙的样本量问题，它是通过在 Le Cam 引理的应用中新颖地构造一组稀疏精度矩阵子集而建立的。此外，在无法达到参数速率时，所提出的估计量在最小样本要求下被证明具有最优收敛速率。所提出的估计量被应用于检验高斯图模型中边的存在性或恢复整个模型的支撑集，以获得以矩阵 $\ell_q$ 算子范度量的整个精度矩阵的自适应速率最优估计，并对图模型中的潜变量进行推断。所有这些都是在精度矩阵的稀疏性条件及其谱范围的侧面条件下实现的。这显著放宽了通常施加在精度矩阵上的均匀信号强度条件、协方差矩阵 Hessian 张量算子上的不可表示性条件或精度矩阵上的 $\ell_1$ 约束。数值结果证实了我们的理论发现。所提出算法“渐近正态阈值化”（Asymptotic Normal Thresholding, ANT）用于支撑集恢复的 ROC 曲线显著优于流行的 GLasso 算法。