扩展性质的渐近概率与随机$l$可着色结构

我们考虑一组有限结构$\mbK = \bigcup_{n \in \mbbN}\mbK_n$，其中$\mbK_n$的所有成员具有相同的论域，且论域基数随$n\to\infty$趋于无穷。$\mbK$中的每个结构可能具有非平凡的底层预几何，并且在每个$\mbK_n$上我们考虑一个概率测度，要么是均匀测度，要么是我们所谓的维度条件测度。主要问题是：什么条件能保证对于每个与$\mbK$定义性质相容的扩展公理$\varphi$，$\varphi$在$\mbK_n$的一个成员中成立的概率随$n\to\infty$趋于1？什么条件能保证情况并非如此，可能以强意义下对于某些$\varphi$该概率趋于0？如果每个$\mbK_n$是论域为$\{1, ..., n\}$、固定关系语言中某些“禁止”结构不能弱嵌入的结构集合，且$\mbK$具有不相交融合性质，那么存在一个条件（关于禁止结构集合），若考虑均匀测度，则给出一个二分法；即该条件成立当且仅当第一个问题的答案是“是”。一般情况下，我们没有得到二分法，但确实得到了一个保证第一个问题答案为“是”的条件，以及一个保证答案为“否”的条件；并且我们给出了例子，表明在这些条件之间的间隙中，答案可能是“是”或“否”。该分析针对均匀测度和维度条件测度都进行了。后一种测度与结构的随机生成关系更密切，并且在扩展公理的可满足性方面更加“慷慨”。