一类最优位置问题中三角晶格的渐近最优性

我们证明了二维中一类非局部粒子系统的渐近结晶结果。确切地说，我们考虑用离散概率测度 $\sum_i m_i \delta_{z_i}$ 对给定的绝对连续概率测度 $f \mathrm{d}x$ 关于 2-Wasserstein 度量的最佳逼近，并受限于粒子大小 $m_i$ 的约束。粒子的位置 $z_i$、其大小 $m_i$ 以及粒子数量均为问题的未知量。我们研究了一族单参数约束。这是最优位置问题（或最优采样或量化问题）的一个例子，并在经济学、信号压缩与数值积分中有应用。我们建立了当粒子数量趋于无穷时（重标度）逼近误差的渐近最小值。特别地，我们证明对于用离散测度对 Lebesgue 测度的约束最佳逼近，其支撑为三角晶格的离散测度是渐近最优的。此外，我们证明了一个将约束替换为惩罚的类似问题的相应结果。这些结果也可视为六边形铺砌对于最优划分问题的渐近最优性。它们将 Bourne、Peletier 和 Theil（Communications in Mathematical Physics, 2014）的结晶结果从单一粒子系统推广到一类粒子系统，并证明了 Bouchitté、Jimenez 和 Mahadevan（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2011）猜想的一个情形。最后，我们证明了一个结晶结果，其表明能量接近三角晶格的最优构型在几何上接近于三角晶格。