Grenander 估计的 $L_k$-误差的渐近正态性

我们研究递减密度 $f$ 与其非参数极大似然估计 $\hat{f}_n$ 之间的 $L_k$-距离在 $k\geq1$ 时的极限行为。由于 $\hat{f}_n$ 在零点的不一致性，情形 $k=2.5$ 结果成为一种过渡点。我们将 $L_1$-距离的渐近正态性推广到 $1\leq k<2.5$ 的 $L_k$-距离，并对 $k\geq2.5$ 的 $L_k$-距离的修正获得了类似的极限结果。由于 $L_1$-距离是 $f$ 与 $\hat{f}_n$ 之间的面积，也就是 $f$ 的逆 $g$ 与更易处理的 $\hat{f}_n$ 的逆 $U_n$ 之间的面积，该问题可立即化为推导 $U_n$ 与 $g$ 之间 $L_1$-距离的渐近正态性。尽管对 $k>1$ 我们失去了这一简单对应，我们表明 $f$ 与 $\hat{f}_n$ 之间的 $L_k$-距离渐近等价于 $U_n$ 与 $g$ 之间的 $L_k$-距离。