一般设定下的 Kiefer-Wolfowitz 型结果及其在光滑单调估计中的应用

我们在非常一般的设定下考虑用于单调函数 $f$ 的 Grenander 型估计量，该设定包括单调回归曲线、单调密度和单调失效率的估计。这些估计量定义为对应于 $f$ 的积分曲线 $F$ 的朴素估计量 $F_n$ 的最小凹 majorant $\hat{F}_n$ 的左-hand 斜率。我们证明了 $\hat{F}_n$ 与 $F_n$ 之间的上确界距离为 $O_p(n^{-1}\log n)^{2/(4-\tau)}$ 阶，其中 $\tau\in[0,4)$ 表征 $F_n$ 逼近过程的尾部概率。在典型示例中，逼近过程为高斯过程且 $\tau=1$，此时收敛速率为 $n^{-2/3}(\log n)^{2/3}$，这与 Kiefer 和 Wolfowitz (1976) 针对估计递减密度这一特殊情况所得结果精神一致。我们还获得了关于 $F_n$ 原函数的类似结果，此时 $\tau=2$，导致更快的速率 $n^{-1}\log n$，这也由 Wang 和 Woodfroofe (2007) 发现。作为我们一般设定中的一个应用，我们表明光滑化的 Grenander 型估计量及其导数在一阶意义上渐近等价于普通核估计量及其导数。