Grenander 估计量的重对数律

本文证明了单调递减密度函数的 Grenander 估计量满足如下重对数律：若 $f(t_0) > 0$，$f'(t_0) < 0$，且 $f'$ 在 $t_0$ 的邻域内连续，则几乎必然有\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow \infty} \left ( \frac{n}{2\log \log n} \right )^{1/3} ( \widehat{f}_n (t_0 ) - f(t_0) ) = \left| f(t_0) f'(t_0)/2 \right|^{1/3} 2M \end{eqnarray*}其中 $M \equiv \sup_{g \in {\cal G}} T_g = (3/4)^{1/3}$ 且 $T_g \equiv \mbox{argmax}_u \{ g(u) - u^2 \}$；此处 ${\cal G}$ 为 $R$ 上的双侧 Strassen 极限集。证明依赖于局部经验过程的重对数律、Groeneboom 切换关系，以及类似于布朗运动分布性质的 Strassen 极限集性质。