高阶 Mahler 测度的渐近性质

我们将 Akatsuka 的 zeta Mahler 测度视为多项式 $P$ 的高阶 Mahler 测度 $m_k(P)$ 的生成函数，其中 $m_k(P)$ 是 $\log^{k}\left| P \right|$ 在复单位圆上的积分。限制在 $\displaystyle P(x)=x+r$ 且 $|r|=1$ 的情形，我们展示了关于 $m_k(P)$ 的一些新的渐近结果，特别是当 $k \to \infty$ 时，$\left| m_k(P) \right|/k! \to 1/\pi$。