特定因子模型样本相关矩阵有界与无界特征值的渐近位置——在成分保留规则中的应用

设数据维度 $N$ 和样本量 $T$ 趋于 $\infty$ 且 $N/T \to c > 0$。当总体相关矩阵 $\mathbf{R}$ 有界时，样本相关矩阵 $\mathbf{C}$ 和样本协方差矩阵 $\mathbf{S}$ 的谱性质是渐近相等的（El Karoui 2009）。我们通过考察乘性扰动矩阵奇异值的行为，证明了对无界 $\mathbf{R}$ 的一般线性模型此结论同样成立。由此，我们确立：给定一个具有异质噪声方差 $\sigma^2$ 和秩为 $r$ 的因子载荷矩阵 $\mathbf{L}$（其所有行具有共同的欧几里得范数 $L$）的因子模型。那么，$\mathbf{C}$ 的第 $k$ 大特征值 $\lambda_k$ $(1\le k\le N)$ 几乎必然满足：(1) $\lambda_r$ 发散；( (2) 对于 $\mathbf{L}$ 的第 $k$ 大奇异值 $s_k$，有 $\lambda_k/s_k^2\to1/(L^2 + \sigma^2)$ $(1 \le k \le r)$；(3) 对于 $\rho := L^2/(L^2 + \sigma^2)$，有 $\lambda_{r + 1}\to(1-\rho)(1+\sqrt{c})^2$。只要 $s_r$ 远大于 $\sqrt{\log N}$，通过 $[0,\,1]$ 的随机划分（Holst 1980）来估计 $\mathrm{rank}\, \mathbf{L}$ 的断棍规则（Frontier 1976, Jackson 1993）便趋于 $r$（几乎必然）。我们还提供了一个自然因子模型，在该模型中该规则趋于 $\mathbf{L}$ 的“本质秩”（几乎必然），该值小于 $\mathrm{rank}\, \mathbf{L}$。