辅助函数的渐近展开

Siegel在1932年发表了一篇关于黎曼遗作的论文，其中包括对Riemann-Siegel公式的研究。在本文中，我们明确给出了Siegel所暗示的$\mathop{\mathcal R }(s)$的渐近展开。我们扩展了这些渐近展开的有效范围。作为推论，我们指定了一个区域，在该区域中函数$\mathop{\mathcal R }(s)$没有零点。我们还对Siegel的一些断言给出了完整的证明。此外，我们包含了一个关于$\mathop{\mathcal R }(\frac12-it)$当$t\to+\infty$时渐近行为的定理。尽管$e^{-i\vartheta(t)}\mathop{\mathcal R }(\frac12-it)$的实部是$Z(t)$，但其虚部呈指数增长，这就是为什么在研究$Z(t)$的零点时，更倾向于考虑$t>0$时的$\mathop{\mathcal R }(\frac12+it)$。