关于Siegel在Riemann遗稿中发现的函数$\mathop{\mathcal R }(s)$相关论文的报告

在给Weierstrass的一封信中，Riemann断言临界线上高度为$T$的$\zeta(s)$零点数$N_0(T)$近似等于该高度下零点总数$N(T)$。Siegel研究了Riemann的一些遗稿，试图找到这一断言的证明。他发现了一个函数$\mathop{\mathcal R }(s)$，其零点与$\zeta(s)$的零点相关。Siegel得出结论，Riemann的论文中没有包含证明其断言的任何想法，将$\mathop{\mathcal R }(s)$零点的位置与$\zeta(s)$零点的位置联系起来，并询问了$\mathop{\mathcal R }(s)$零点的位置。本文是对我们即将上传到arXiv的几篇论文的总结，在这些论文中，我们试图回答Siegel关于$\mathop{\mathcal R }(s)$零点位置的问题。这些文章还包含对Siegel结果的改进以及其他可能证明Riemann断言的方法，但未能实现这一目标。