Laplace-Fourier 型积分的渐近展开

我们研究 Laplace-Fourier 型积分 $P(k) = \int_\Omega\mathrm{e}^{-|k|^sf(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}\mathrm{d} x\;$ 的渐近行为，其中 $k\in\mathbb{R}^d$，$d\ge1$ 维，$\Omega\subset\mathbb{R}^d$，$f:\Omega\to\mathbb{R}$ 为充分良态的函数。我们的主要结果为当 $|k|\to\infty$ 时，$P(k) \sim \frac{\mathrm{e}^{-|k|^sf(0)}}{|k|^{sd/2}}\sqrt{\frac{(2\pi)^d}{\det A}} \exp\left(-\frac{k^\top A^{-1}k}{2|k|^s}\right)$，其中 $A$ 为函数 $f$ 在其临界点（假设位于 $x_0 = 0$）处的 Hessian 矩阵。在一维情形下，Hessian 由二阶导数替代，即 $A = f''(0)$。我们还表明，积分域 $\Omega$ 可扩展至 $\mathbb{R}^d$ 而不改变其渐近行为。