具有非正则参数依赖的 It\^{o} 随机微分方程解的齐次可加泛函的渐近行为

我们研究了形如 $I_T(t)=F_T(\xi_T(t))+\int_0^tg_T(\xi_T(s))\,d\xi_T(s)$, $t\ge0$ 的混合泛函在 $T\to\infty$ 时的渐近行为。这里 $\xi_T(t)$ 是随机微分方程 $d\xi_T(t)=a_T(\xi_T(t))\,dt+dW_T(t)$ 的强解，$T>0$ 是一个参数，$a_T=a_T(x)$ 是可测函数且对所有 $x\in \mathbb {R}$ 满足 $\left|a_T(x)\right|\leq C_T$，$W_T(t)$ 是标准 Wiener 过程，$F_T=F_T(x)$, $x\in \mathbb {R}$ 是连续函数，$g_T=g_T(x)$, $x\in \mathbb {R}$ 是局部有界函数，且所有变量均为实值。在 $g_T$ 和 $a_T$ 对参数 $T$ 存在极不正则依赖的情况下，我们确立了 $I_T(t)$ 极限过程的显式形式。