有限域的Artin-Schreier塔

给定素数 $p$，我们考虑有限域的塔 $F_p=L_{-1}\subset L_0\subset L_1\subset\cdots$，其中每一步对应于次数为 $p$ 的Artin-Schreier扩张，因此对于 $i\geq 0$，有 $L_{i}=L_{i-1}[c_{i}]$，其中 $c_i$ 为 $X^p-X-a_{i-1}$ 的根，$a_{i-1}=(c_{-1}\cdots c_{i-1})^{p-1}$，且 $c_{-1}=1$。我们扩展并加强了针对 $p=2$ 的Popovych先前的工作，关于给定生成器 $c_i$ 在 $L_i$ 相对于 $L_{i-1}$ 中的乘法次数。特别地，对于 $i\geq 0$，我们证明 $O(c_i)=O(a_i)$，仅当 $p=2$ 且 $i=1$ 时除外，且 $O(c_i)$ 等于 $c_j$ 在 $L_{j-1}^\times$ 中阶的乘积，其中 $0\leq j\leq i$ 当 $p$ 为奇数时，$i\geq 2$ 且 $1\leq j\leq i$ 当 $p=2$ 时。我们还证明对于 $i\geq 0$，$a_i$ 的 $\mathrm{Gal}(L_i/L_{i-1})$-共轭形成 $L_i$ 相对于 $L_{i-1}$ 的规范基。此外，我们获得了 $c_1$ 相对于 $F_p$ 的最小多项式的显式形式。