Maryland 模型的算术谱跃迁

我们精确描述了 Maryland 模型 $(h_{\lambda,\alpha,\theta}u)_n=u_{n+1}+u_{n-1}+ \lambda \tan \pi(\theta+n\alpha)u_n$ 对所有参数值的谱。我们引入了一个算术定义的指标 $\delta (\alpha, \theta)$，并表明对于 $\alpha\notin\mathbb{Q},\,$ $\sigma_{sc}(h_{\lambda,\alpha,\theta})=\overline{\{e:\gamma_{\lambda}(e) <\delta (\alpha, \theta) \}}$ 且 $\sigma_{pp}(h_{\lambda,\alpha,\theta})=\{e:\gamma_{\lambda}(e) \geq \delta (\alpha, \theta) \}$。由于 $\sigma_{ac}(h_{\lambda,\alpha,\theta})=\emptyset,\;$ 这给出了对所有参数 $\lambda,\alpha,\theta$ 谱分解的完整描述，使其成为首个在没有任何参数排除的情况下描述算术谱跃迁的族。使用*量子化条件*，可以为所有参数显式识别特征值集合。我们还首次针对此模型或任何其他模型，为所有参数建立了奇异连续谱（一个支持奇异连续测度的算术定义的零测度集）的量子化条件。