关于计算多面体直径的困难性：已证明比 NP-hard 更难（以完美匹配为例）

多面体直径是理解单纯形方法效率的基本几何参数。尽管其核心地位使其计算复杂度成为热门话题，但对于给定多面体直径的计算复杂度仍鲜有了解。1994 年，Frieze 和 Teng 已认识到该任务可能远超 NP-hard，询问其决策问题是否属于多项式层次第二阶段，即 $\Pi^p_2$-complete。此后，取得了一些部分结果。Frieze 和 Teng 本人证明了针对一族自定义多面体的弱 NP-hardness。Sanità 在突破性工作中证明，针对更简单的最优匹配单面体问题已是强 NP-hard。最近，Steiner 和 N"obel 将此结果推广至更简单的最佳二分图完美匹配单面体及电路直径。本文最终证明，计算二分图完美匹配单面体的直径是 $\Pi^p_2$-hard。由于相应决策问题也显然包含在 $\Pi^p_2$ 中，这彻底回答了 Frieze 和 Teng 30 年前的疑问。我们的结果也适用于将直径替换为电路直径的情形。作为第二个主要结果，我们证明对于某 $\varepsilon > 0$，二分图完美匹配单面体的（电路）直径无法通过因子更优于 $(1 + \varepsilon)$ 进行近似。这回答了 N"obel 和 Steiner 的近期问题。这是首个关于电路直径的近似难度结果，也将 Sanità 的直径近似难度结果扩展至全 unimodular 情形。