Anderson局域化的若干数学问题：边界效应、多模态与分岔

Anderson局域化是一种著名的波现象，描述了波在无序介质中不发生扩散。本文采用概率方法将Anderson局域化的景观理论推广到一般椭圆算子和复边界条件，并进一步研究此前鲜有讨论的Anderson局域化的一些数学方面。首先，我们观察到在Neumann边界条件下，低能量子态以高概率局域在区域的边界上。我们利用扩展子区域的概念对这一现象给出了详细解释，并在一维情形得到了该概率的解析表达式。其次，我们发现在一维情形下量子态可能以高概率局域在多个不同的子区域中，并针对多种边界条件推导了该概率的显式表达式。最后，我们考察了随着无序强度变化而出现的局域化子区域的分岔现象。基于一个玩具模型解析地计算了分岔的临界阈值，并分析了临界阈值对模型参数的依赖关系。