$p$-adic曲线与几何阿贝尔基本群的截面之算术

设$X$为$p$-adic局部域上亏格$g(X)\ge 1$的射影、光滑且几何连通曲线。我们证明存在可有效计算的开仿射子概形$U\subset X$，具有如下性质：若（当且仅当）$U$的几何阿贝尔基本群正合列分裂，则$period (X)=1$且$index (X)$等于$1$或$2$（相应地，$period(X)=index (X)=1$，假设$period (X)=index (X)$）。我们计算与$X$关联的几何阿贝尔绝对伽罗瓦群正合列的分裂 torsor，并给出$p$-adic局部域上曲线算术基本群截面正交于$Pic^0$（相应地$Pic^{\wedge}$）的新刻画。由此我们观察到Hoshi在[Hoshi]中构造的非几何（几何pro-$p$）截面正交于$Pic^0$。