模 orbifold 单位切丛中的算术、几何与动力系统

受 Zagier 工作的启发，我们从几何角度研究支撑于模 orbifold $\text{PSL}(2,\mathbb Z)$ 的单位切丛 $M=\text{PSL}(2,\mathbb{R})/\text{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的闭 horocycle 上的概率测度 $m_y$。事实上，典则投影 $\mathfrak{p}:M\to\mathbb{H}/\text{PSL}(2,\mathbb Z)$ 实际上是该 orbifold 上的 Seifert 纤维化，具有两条对应于模 orbifold 两个锥点的特殊圆纤维。Zagier 证明了当 $y\to0$ 时 $m_y$ 收敛到 $M$ 的归一化 Haar 测度 $m_o$：对每个具有紧支撑的光滑函数 $f:M\to \mathbb R$，有 $m_y(f)=m_0(f)+o(y^\frac12)$ 当 $y\to0$。他还表明，对所有 $\epsilon>0$ 及 $M$ 中具有紧支撑的光滑函数 $f$，$m_y(f)=m_0(f)+o(y^{\frac34-\epsilon})$ 当且仅当黎曼假设成立。本文我们证明若 $f$ 为 $M$ 中某些开集的特征函数，则指数 $\frac12$ 是最优的。这当然不意味着黎曼假设为假。定理中要求函数的可微性。