Grassmann 流形上的面积极小锥

众所周知，对于 $n$ 平面 Grassmann 流形 $G(n,m;\mathbb{F})(\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H})$ 与 Cayley 平面 $\mathbb{O}P^2$ 存在到欧氏球面的标准极小嵌入映射，那么一个自然的问题是：这些嵌入 Grassmann 流形上的锥是否为面积极小的？本文从厄米正交投影算子的角度给出了该嵌入映射的详细描述，可视为 Gary R. Lawlor（\cite{lawlor1991sufficient}）关于实射影空间情形的原始考虑的直接推广，随后我们从伴随作用的孤立轨道或对称 $R$-空间规范嵌入的视角重新证明了那些锥的面积极小性（其曾在 \cite{kerckhove1994isolated}、\cite{kanno2002area} 与 \cite{ohno2015area} 中逐步得到），均基于 Gary R. Lawlor 曲率准则方法。此外，除那些非定向 $2$-平面 Grassmann 流形的有向实 Grassmann 流形 $\widetilde{G}(n,m;\mathbb{R})$ 上的锥外，Takahiro Kanno 已给出几乎所有常见 Grassmann 流形上的面积极小锥。本文第二部分致力于补充该结果，一个自然且关键的观察是有向实 Grassmann 流形可视为外向量空间中的单位简单向量，我们证明除 $\widetilde{G}(2,4;\mathbb{R})$ 外它们的所有锥均为面积极小的。