某些随机矩阵平均的逼近

Rudelson 定理指出，若对于一组单位向量 $u_i$ 和正权重 $c_i$，有 $\sum c_i u_i\otimes u_i$ 是 ${\mathbb R}^d$ 上的恒等算子 $I$，则这些并矢积的一个大小为 $Cd\ln d$ 的随机样本之和接近于 $I$。其中的 $\ln d$ 项不可去掉。另一方面，Batson、Spielman 和 Srivastava 最近的奠基性结果以及 Marcus、Spielman 和 Srivastava 的改进表明，若想证明存在由少量并矢积平均得到的 $I$ 的良好逼近，则 $\ln d$ 项可以去掉。已知本质上与 Rudelson 相同的证明可给出关于半正定矩阵平均的一个更一般结论。首先，我们给出一个半正定矩阵平均的例子，其中不存在由 $Cd$ 个元素对该平均的逼近。因此，Batson、Spielman 和 Srivastava 的结果不能推广到这一更宽的矩阵类。接着，我们给出 Rudelson 关于半正定矩阵结果的稳定性版本，从而将其推广到某些非对称矩阵。这带来了对凸体的 Banach–Mazur 距离研究的应用。最后，我们证明在某些情况下，需要取大小为 $d^2$ 阶的向量子集来逼近恒等算子。