正交群与酉群上小 Grothendieck 问题的近似

小 Grothendieck 问题包括在二进制变量 $x_i\in\{\pm1\}$ 上最大化 $\sum_{ij}C_{ij}x_ix_j$，其中 C 是半正定矩阵。在本文中，我们关注该问题的一个自然推广，即正交群上的小 Grothendieck 问题。给定 C 为一个 dn x dn 的半正定矩阵，目标是在限制 $O_i$ 取正交矩阵群中的值的条件下，最大化 $\sum_{ij}Tr (C_{ij}^TO_iO_j^T)$，其中 $C_{ij}$ 表示 C 的第 (ij) 个 d x d 分块。我们提出了一种称为 Orthogonal-Cut 的近似算法来解决此问题，并证明了其具有常数近似比。我们的方法基于半定规划。对于给定的 $d\geq 1$，我们证明了常数近似比为 $\alpha_{R}(d)^2$，其中 $\alpha_{R}(d)$ 是具有随机高斯 $N(0,1/d)$ 独立同分布项的 d x d 矩阵的期望平均奇异值。对于 d=1，我们恢复了经典小 Grothendieck 问题已知的 $\alpha_{R}(1)^2=2/\pi$ 近似保证。我们的算法和分析自然地扩展到了复数值情形，也为酉群上的类似问题提供了常数近似比。Orthogonal-Cut 还可作为多种应用的近似算法，包括 Procrustes 问题，其改进了此前已知的最佳近似比 $\frac1{2\sqrt{2}}$。小 Grothendieck 问题属于可由近期在非交换 Grothendieck 不等式背景下提出的算法所近似的一类问题。尽管如此，我们的方法更为简单，提供了更高效的算法、更好的近似比以及匹配的整数间隙。最后，我们还为具有秩约束的正交群（或酉群）上更一般的小 Grothendieck 问题提供了一种改进的近似算法。