基于近似 Schur 引理与概率 Stampfli 定理的定量 Tsirelson 定理

一对近似交换的算子是否必定接近一对交换的算子，是算子理论与矩阵理论中的一个核心问题。我们针对 $M_d(\mathbb{C})$ 中的一对 $C^*$-子代数 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 研究该问题，证明了在“$\epsilon$-近似交换”的两种互补表述下，$\mathcal{B}$ 中的每个算子按算子范数均与换位子代数 $\mathcal{A}'$ 中的某个算子相距 $O(d^2\epsilon)$。一种表述是概率性的，要求 $\mathcal{B}$ 的算子与作用于 $\mathcal{A}$ 的大多数 Haar 随机酉算子具有较小的换位子。该表述导出了 Stampfli 定理的两个新颖概率推广，Stampfli 定理将算子与标量的距离与其内导子的范数联系起来。第二种表述是确定性的，要求 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 的生成元之间具有较小的换位子；我们利用以 Weyl-Heisenberg（时钟与移位）矩阵表述的近似 Schur 引理对其进行分析。作为我们的结果在量子信息理论中的应用，我们得到了一个定量的 Tsirelson 定理：在维度 $d$ 下，每个 $\epsilon$-近似量子交换可观测模型均可被量子张量积模型很好地近似，误差为 $O(d^2\epsilon)$。