踢哈珀算子与共振双踢转子算子的谱关系

踢哈珀算子和共振双踢转子算子是对其半经典极限呈现混沌动力学的量子系统进行建模的算子。近期的计算研究表明这些算子的谱之间存在显著相似性。本文应用C*-代数方法解释这种相似性。我们证明每一对相应的算子属于同一个旋转C*-代数B_α，证明若α是无理数则它们的谱相等，并证明若α = p/q且p和q互质，则随着q增加，它们谱之间的豪斯多夫距离收敛到零。此外，我们证明B_α中相应的算子是万有旋转C*-代数A_α中母算子的同态像，这些母算子酉等价因而具有相同的谱。这些结果推广了关于几乎马蒂厄算子的类似结果。我们还利用C*-代数框架开发了计算有理数α下这些母算子谱的高效算法，并给出了初步数值结果，支持当α为无理数时其谱是康托尔集的猜想。这个关于几乎马蒂厄算子的猜想被称为“十马提尼问题”，经过几十年的密集努力最近才被证明。该证明针对几乎马蒂厄算子使用了传递矩阵方法，而踢算子不存在这种方法。我们基于半单李群环群的一个特殊性质，概述了一个证明踢算子该猜想的策略。