激活边覆盖与设施选址问题的近似算法

若客户 $u$ 连接到设施 $v$ 时，$v$ 的开办成本至多为 $u$ 的服务成本的 $\theta$ 倍，我们能为设施选址问题达到何种近似比？我们证明该问题及许多其他问题均为激活边覆盖问题的一个特例。此处给定多重图 $G=(V,E)$、终端集合 $R \subseteq V$，以及每条 $uv$ 边 $e \in E$ 的阈值 $\{t^e_u,t^e_v\}$。目标是为节点寻找赋值 ${\bf a}=\{a_v:v \in V\}$ 以最小化 $\sum_{v \in V} a_v$，使得由 ${\bf a}$ 激活的边集 $E_{\bf a}=\{e=uv: a_u \geq t^e_u, a_v \geq t^e_v\}$ 覆盖 $R$。我们得到该问题的近似比 $1+\omega(\theta) \approx \ln \theta-\ln \ln \theta$，其中 $\omega(\theta)$ 为方程 $x+1=\ln(\theta/x)$ 的根，$\theta$ 为问题参数。该结果基于一个针对最小化递减集函数与次可加集函数之和问题的简单通用算法，其本身具有独立意义。作为应用，上述设施选址变体可达近似比 $1+\omega(\theta)$；若每个设施的所有服务成本相同，则我们得到更优的近似比 $\displaystyle 1+\max_{k \geq 1} \frac{H_k-1}{1+k/\theta}$，其中 $H_k=\sum_{i=1}^k 1/i$。对于最小功率边覆盖问题，我们将 Calinescu 等人（通过迭代随机舍入得到）的近似比 $1.406$ 改进至 $1+\omega(1)<1.2785$。对于单位阈值，我们将近似比 $73/60 \approx 1.217$ 改进至 $\frac{1555}{1347} \approx 1.155$。