激活边多重覆盖问题的对数近似算法

在激活边多重覆盖（Activation Edge-Multicover）问题中，给定一个多重图 $G=(V,E)$，其中每条边 $e=uv \in E$ 具有激活代价 $\{c_{e}^u,c_{e}^v\}$，以及度需求 $r=\{r_v:v \in V\}$。目标是找到一个边子集 $J \subseteq E$，使其激活代价 $\sum_{v \in V}\max\{c_{uv}^v:uv \in J\}$ 最小，且每个 $v \in V$ 在图 $(V,J)$ 中至少有 $r_v$ 个邻居。令 $k= \max_{v \in V} r_v$ 为最大需求，令 $\theta=\max_{e=uv \in E} \frac{\max\{c_e^u,c_e^v\}}{\min\{c_e^u,c_e^v\}}$ 为一条边两个代价之间的最大商。当 $\theta=1$ 时，该问题存在近似比 $O(\log k)$。当 $k=1$ 时，它推广了集合覆盖问题（当 $\theta=\infty$），并存在紧近似比 $O(\log n)$。这意味着对于一般 $k$ 和 $\theta$ 存在近似比 $O(k \log n)$，且此前未知有更优的近似比。我们获得了首个对数近似比 $O(\log k +\log\min\{\theta,n\})$，它桥接了两种已知近似比——$\theta=1$ 时的 $O(\log k)$ 与 $k=1$ 时的 $O(\log n)$。这给出了激活 $k$-连通子图（Activation $k$-Connected Subgraph）问题的近似比 $O\left(\log k +\log\min\{\theta,n\}\right) +\beta \cdot (\theta+1)$，其中 $\beta$ 是该问题普通最小代价版本的最佳已知近似比。