近似李对称与奇异扰动理论
数学物理
2025-09-16 v2 math.MP
摘要
奇异扰动理论在非线性微分方程的近似求解中起着核心作用。然而，由于缺乏全局适用的算法，应用这些方法是一门微妙的技艺。受“微分方程的所有精确解皆为（李）对称之结果”这一事实启发，我们将微分方程的扰动理论重新表述为解的李对称之展开。这相较于通常直接获得解本身级数展开的方法是一种视角转换。我们表明，这些近似对称易于计算且从不奇异；因此其积分是构造一致收敛解的更简易途径。这一几何视角通过利用我们称之为“隐藏尺度对称”的基本对称类，自然囊括了 Chen、Goldenfeld 与 Oono 的 RG 启发方法、多尺度法以及 Poincare-Lindstedt 法。它也阐明了这些奇异扰动方法何时以及为何成功，同样重要的是，何时失败。更广泛地，对这些隐藏尺度对称的直接、算法化识别与积分使得求解其他方法不切实际的问题成为可能。
引用
@article{arxiv.2309.05038,
title = {Approximate Lie symmetries and singular perturbation theory},
author = {Alexander J. Dear and L. Mahadevan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2309.05038},
year = {2025}
}
备注
55 pages, 7 figures; references added, results sections re-ordered, SI created, material added on the Oseen equation, description of RG/E revised. Various formatting changes and minor phrasing changes. Findings & conclusions unchanged