Kac-Moody 代数在引力与弦理论中的应用

此前有人提出，弦与膜的理论拥有一个由 Kac-Moody 代数 $E_{11}$ 生成的大对称群。同样此前也有人提出，四维引力理论拥有一个由 Kac-Moody 代数 $A_1^{+++}$ 生成的大对称群。这些对称群预测了每种理论中存在无限多的场集合，包括一个可解释为对偶引力子的场。在本论文中，我们将讨论与这些弦理论和引力方法相关的发展。我们首先回顾非线性实现的方法，然后引入 Kac-Moody 代数 $A_1^{+++}$ 及其第一基本表示（该表示将时空引入到低能级）。接着，我们将考虑涉及它们半直积的非线性实现，并利用相关的 Cartan 形式构建该非线性实现低能级场的动力学。随后，我们将提出理论中不同能级场之间的对偶关系，并提出源自 $A_1^{+++}$ 的对偶引力子的非线性运动方程。然后我们考虑 $E_{11}$ 的类似结果，并描述弦理论背景下提出的非线性对偶引力子方程。接下来我们讨论 $E_{11}$ 的不可约表示。我们将构建与有质量和无质量粒子、如 M2 和 M5 膜以及 IIA 弦等相关的各向同性群。最后，我们提出一种引入 Kac-Moody 代数 $E_{11}$ 旋量表示的方法。