偏序集的反链生成多项式

本文给出了偏序集 $[k]\times Q$ 的反链生成多项式 $\mathcal{N}_{[k]\times Q}$ 的公式，其中 $[k]$ 为任意链，$Q$ 为任意有限分次偏序集。当 $Q$ 特化为由 Proctor 于 1984 年分类的连通极小诗人偏序集(minuscule poset)时，我们发现多项式 $\mathcal{N}_{[k]\times Q}$ 具有良好性质。例如，我们将重新得到 $B_n$-Narayana 多项式和 $D_{2n+2}$-Narayana 多项式。我们收集了如下猜想的证据：只要 $\mathcal{N}_{[k]\times P}(x)$ 是回文的，它必为 $\gamma$-正的。此外，族 $\mathcal{N}_{[2]\times [n]\times [m]}$ 应为实根的，且 $\mathcal{N}_{[2]\times [n]\times [n+1]}$ 应为 $\gamma$-正的。我们还猜想，对任意连通 Peck 偏序集 $Q$，$\mathcal{N}_{Q}(x)$ 是对数凹的(从而是单峰的)。