反 Lie-Trotter 公式

设 $A$ 和 $B$ 为半正定矩阵。当 $p$ 趋于 $0$ 时，表达式 $Z_p:=(A^{p/2}B^pA^{p/2})^{1/p}$ 的极限由著名的 Lie-Trotter-Kato 公式给出。类似的公式也适用于当 $p$ 趋于 $0$ 时 $G_p:=(A^p\,\#\,B^p)^{2/p}$ 的极限，其中 $X\,\#\,Y$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的几何平均。在本文中，我们研究了当 $p$ 趋于 $\infty$ 时 $Z_p$ 和 $G_p$ 的互补极限，最终目标是找到一个显式公式，我们称之为反 Lie-Trotter 公式。我们证明了 $Z_p$ 的极限存在，并在一种特殊情况下找到了显式公式。$G_p$ 的极限仅针对 $2\times2$ 矩阵进行了证明。