反常热浴与带内离散呼吸子

我们研究了一个宏观系统的动力学，该系统由一个嵌入任意谐波晶格（包含淬火无序）的非谐波子系统组成。消除谐波自由度后，得到非谐波坐标的非线性朗之万方程。在零温下，我们证明非谐波系统的记忆核的傅里叶变换与时间平均速度-速度相关函数的支撑集不能重叠。因此，渐近解可以是常数、周期、准周期或几乎周期的，并可能呈现弱混沌。对于频率为$\Omega$的正弦轨迹，我们发现到时间$T$为止转移到谐波系统的能量$E_T$与$T^{\alpha}$成正比。若$\Omega$等于某个声子频率$\omega_\nu$，则$\alpha=2$。我们证明存在一个满测度集，使得对于该集合中的$\Omega$，有$\alpha=0$，即无能量耗散。在某些条件下，存在一个零测度集，使得对于该集合中的$\Omega$，耗散率非零，且可能是亚耗散的$(0 \leq \alpha < 1)$或超耗散的$(1 <\alpha \leq 2)$。因此，谐波浴确实起到了反常热浴的作用。带内离散呼吸子是不弛豫的解。我们证明，对于任意非谐性以及小但有限的耦合，对于勒贝格测度有限的康托集$\mathcal{C}(k)$中的所有$\Omega$，存在频率为$\Omega$的带内离散呼吸子。这是通过估计记忆核中出现的小分母的贡献来实现的。对于$\Omega\in\mathcal{C}(k)$，小分母不会导致发散，因此该核是$t$的光滑有界函数。