临界情形下向量 Dyson 方程解的奇异性行为

我们考虑向量 Dyson 方程 $-1/m=z+Sm$ 的解，其中 $S$ 具有块阶梯结构：在严格正的反对角线下方有 $(n-1)$ 个不同的临界零块，且反对角线上方所有元素均严格为正。我们证明 $m$ 的各分量在零的邻域内表现为 $z$ 的分数幂，并表明自洽态密度 $\rho(E)$ 在 $E$ 趋于零时表现为 $\vert E\vert^{-\frac{n-1}{n+1}}$，其中 $n^2$ 为块的数量。常数块与非常数块情形均被考虑。在非常数块情形下，获得了 $m$ 各分量的均匀估计。