三维 Navier-Stokes 方程解的条件正则性及其对间歇性的意义

本文给出了三维 Navier-Stokes 方程的两个不寻常的时间积分条件正则性结果。其思想基于涡量的 $L^{2m}$-范数（记为 $\Omega_{m}(t)$），特别是基于 $D_{m} = \Omega_{m}^{\alpha_{m}}$，其中对于 $m\geq 1$，$\alpha_{m} = 2m/(4m-3)$。第一个结果更适用于无强迫情形，可以简单地表述为：如果存在某个 $1\leq m < \infty$ 满足积分条件（$Z_{m}=D_{m+1}/D_{m}$）\n$$\int_{0}^{t}\ln (\frac{1 + Z_{m}}{c_{4,m}}) d\tau \geq 0$$\n那么在 $[0, t]$ 上不会发生奇点。对于大 $m$，常数 $c_{4,m} \searrow 2$。其次，对于强迫情形，通过对 $\int_{0}^{t}D_{m} d\tau$ 施加一个临界\textit{下界}，对于\textit{大}初始数据，$D_{m}(t)$ 中不会发生奇点。跨越该临界下界的运动展示了解如何表现出间歇性行为，这与张弛振荡器类似。驱动 $\int_{0}^{t}D_{m} d\tau$ 超过该临界值的潜在奇点可以被排除，而其他类型的奇点则不能。