三维纳维-斯托克斯方程解的正则性与奇异性

利用涡量场的高阶矩 $\Omega_{m}(t)$，即 $L^{2m}$ 范数 ($1 \leq m < \infty$)，来探讨周期域 $[0, L]^{3}_{per}$ 上三维不可压缩纳维-斯托克斯方程解的正则性问题。研究发现，量 $$D_{m}(t) = \Omega_{m}^{\alpha_{m}} ,\qquad\qquad\alpha_{m} = \frac{2m}{4m-3},$$ 在该问题中提供了自然的缩放，从而在有限时间区间 $[0, T]$ 上得到一组有界的时间平均 $<D_{m}>_{T}$。在 $[0, T]$ 上交替出现的“好”区间和“坏”区间（其间散布着连接点（中性点）$\tau_{i}$）上，研究了 $D_{m+1}/D_{m}$ 的行为。对于 $m$ 较大但有限且初始数据较大 \big($\Omega_{m}(0) \leq \varpi_{0}O(\Gr^{4})$\big) 的情况，发现存在一个上界 $$\Omega_{m} \leq c_{av}^{2}\varpi_{0}\Gr^{4} ,\qquad\varpi_{0} = \nu L^{-2},$$ 该上界被好/坏区间之间垂直壁上的无穷小间隙或窗口所刺穿，解可能通过这些间隙或窗口逃逸。虽然这一结果与 Leray \cite{Leray} 和 Scheffer \cite{Scheff76} 的结果一致，但此 $\Omega_{m}$ 估计对应的长度尺度远低于纳维-斯托克斯方程的有效范围。