格林函数的退火估计

我们考虑 $d$ 维整数格 $\mathbb{Z}^d$ 上的随机一致椭圆系数场 $a(x)$。我们关注淬火椭圆格林函数 $G(a;x,y)$ 的空间衰减性。除了平稳性外，我们假设系数场的空间相关性衰减得足够快，使得系综 $\langle\cdot\rangle$ 满足对数 Sobolev 不等式。我们证明了格林函数的一阶和二阶混合导数的所有随机矩，即 $\langle|\nabla_x G(x,y)|^p\rangle$ 和 $\langle|\nabla_x\nabla_y G(x,y)|^p\rangle$，在 $|x-y|\gg 1$ 时具有与常系数格林函数相同的衰减速率。这一结果依赖并实质性地扩展了 Delmotte 和 Deuschel \cite{DeuschelDelmotte} 的工作，后者最优地控制了 $G$ 的一阶导数的二阶矩和二阶混合导数的一阶矩，即 $\langle|\nabla_x G(x,y)|^2\rangle$ 和 $\langle|\nabla_x\nabla_y G(x,y)\rangle$。作为应用，即使在大椭圆率对比度下，我们也能获得关于均质化误差随机部分的最优估计。