碎片化希尔伯特空间的解剖：扰动随机正则图中的本征值隧穿、量子疤痕与局域化

我们考虑节点度为 $d$ 的随机正则图，其受到若干短 $k$-圈的化学势 $\mu_k$ 扰动。我们从数值和解析上分析了模型在 $(\mu_k,d)$ 平面上的相图。找到了分离均匀相与团簇相的临界曲线，并证明团簇化相本身作为 $d$ 的函数通常分离为具有理想团簇的相与具有耦合团簇的相，此时连续谱形成。研究了该模型的本征态空间结构，发现在谱的离域部分存在局域化的疤痕状态，其与图中拓扑等价的节点相关。我们还重新考虑了由本征值瞬子形成的非微扰带中态的局域化，并发现了半泊松能级间距分布。研究了组合 ($k$-圈) 结构无序与对角 (Anderson) 无序情形下的 Anderson 转变。发现临界对角无序在团簇化相变处急剧减小，但在非微扰带和谱中带中减小并不均匀，这是由于后者中存在疤痕。讨论了我们的发现对 $2$d 量子引力的应用。