整数格关联维数的解析估计

近期 [L. Lacasa 和 J. G\'omez-Garde\~nes, Phys. Rev. Lett. {\bf 110}, 168703 (2013)] 提出了一种分形维数来表征网络的几何结构。该度量是所谓\emph{关联维数}（correlation dimension）在图论中的扩展，后者最初由 Grassberger 和 Procaccia 提出，用于描述耗散混沌系统中奇怪吸引子的几何特性。图的关联维数计算基于在网络中游走的随机游走者所获取的局部信息。在本文中，我们研究了某些极限合成空间网络的该量，并获得了与先前报道的数值结果一致的解析结果。特别是，我们表明在一阶近似下，整数格 $\mathbb{Z}^d$ 的关联维数 $\beta$ 与其粗等价欧几里得空间的 Hausdorff 维数一致，即 $\beta=d$。