分析连续介质力学 \`a la Hamilton-Piola：二阶梯度连续体与毛细流体的最小作用量原理

本文证明了毛细流体（即其变形能具有 Cahn 和 Hilliard 等人从分子论据出发所建议形式的流体）满足驻定作用量原理。值得注意的是，这些流体有时也被称为 Korteweg-de Vries 或 Cahn-Allen 流体。一般而言，变形能依赖于位置二阶梯度的连续体被称为二阶梯度（或 Piola-Toupin、Mindlin、Green-Rivlin、Germain 或二阶梯度）连续体。在本文中，建立了二阶梯度连续体的物质描述。在物质描述和空间描述中均引入了 Lagrangian 作用量，并导出了相应的 Euler-Lagrange 体条件与边界条件。这些条件用客观变形能体积密度表述，分两种情况：当该能量假设依赖于 C 和 grad C，或依赖于 C^-1 和 grad C^-1 时；其中 C 为 Cauchy-Green 变形张量。当特化为表征流体材料的能量时，恢复了毛细流体的演化条件（参见 Casal 或 Seppecher 基于热力学论据的替代推导）。得到了适用于毛细流体的 Bernoulli 定律版本，并在附录 B 中提出了对本变分公式有用的运动学公式。此外，还介绍了关于 Gabrio Piola 对分析连续介质力学贡献的历史评论。在此背景下，读者也可参考 Capecchi 和 Ruta 的工作。