圆的解析微分同胚与圆纤维化的拓扑Riemann-Roch定理

我们考虑群 $\mathcal G$，它是圆上取值于 ${\mathbb C}^*$ 的解析函数群与保向的圆解析微分同胚群的半直积。然后我们构造群 $\mathcal G$ 关于群 ${\mathbb C}^*$ 的中心扩张。第一个中心扩张，即所谓的行列式中心扩张，是通过作用于无限维局部凸拓扑 $\mathbb C$-向量空间上的线性算子的行列式来构造的。其他中心扩张通过群 $1$-上链的 $\cup$-积构造，并将与代数 $K$-理论相关的映射应用于其上。我们在第二上同调群中，即模去群 $2$-上边缘，证明了由第一个中心扩张构造的 $2$-上链的 $12$ 次幂与上述通过 $\cup$-积（乘法记号）构造的 $2$-上链的整数次幂的乘积相等。作为该结果的一个应用，我们获得了光滑流形 $M$ 上复线丛 $L$ 的一个新的拓扑Riemann-Roch定理，其中 $\pi :M \to B$ 是一个定向圆纤维化。更精确地说，我们证明在群 $H^3(B, {\mathbb Z})$ 中，元素 $12 \, [ {\mathcal Det} (L)]$ 等于元素 $6 \, \pi_* ( c_1(L) \cup c_1(L))$，其中 $[{\mathcal Det} (L)]$ 是由 $L$ 和行列式中心扩张在 $B$ 上构造的行列式gerbe的类。