发散积分的解析延拓

在本工作中，我们研究单项式积分 $\mu(s) = \int_1^{\infty} x^{-s} \,dx$ 作为黎曼 $\zeta$ 函数无穷级数表示 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ 的连续类比。该单项式积分与相应级数均在 $\mathrm{Re}(s) > 1$ 时收敛，而在 $s \in \mathbb{C}$ 且 $\mathrm{Re}(s) \leq 1$ 时发散。本文中，我们将发散的单项式积分解析延拓至整个复平面（除去在 $s = 1$ 处的简单极点），与 $\zeta$ 函数的解析延拓相呼应。通过对单项式在连续整数区间上逐项积分并利用牛顿二项式定理的推广，我们将该反常积分表示为狄利克雷级数。此方法建立了 $\mu$ 函数与 $\zeta$ 函数之间的优雅关系，导出一个通过解析延拓拓展该发散积分的函数方程，并表明 $\mu$ 函数除 $s = 1$ 外处处全纯。