具有平方反比势的薛定谔算子分析 I：三维正则性结果

设 $V$ 为 $\RR^3$ 上的势函数，其在除离散点集 $\maS$ 外处处光滑，而在 $\maS$ 处具有 $Z/\rho^2$ 形式的奇点，其中对于靠近 $p$ 的 $x$ 有 $\rho(x) = |x - p|$，且 $Z$ 在 $\RR^3$ 上连续并满足对于 $p \in \maS$ 有 $Z(p) > -1/4$。此外，假设 $\rho$ 和 $Z$ 在 $\maS$ 外光滑，且 $Z$ 在每个奇点周围的极坐标下光滑。我们要么假设 $V$ 是周期的，要么假设集合 $\maS$ 有限且 $V$ 可延拓为 $\RR^3$ 径向紧化上的光滑函数，该函数在包含 $\maS$ 的紧集外有界。在周期情形下，令 $\Lambda$ 为周期性格子并定义 $\TT := \RR^3/ \Lambda$。我们获得了作用于 $L^2(\TT)$ 的薛定谔型算子 $H = -\Delta + V$ 的本征函数，以及通过将 $H$ 的作用限制在布洛赫波上而导出的 $\vt k$--哈密顿量 $\Hk$ 在加权 Sobolev 空间中的正则性结果。在一些附加假设下，我们将这些正则性和可解性结果推广至非周期情形。我们概述了本征函数和本征值近似的一些应用，这些应用将在第二篇论文中进行更详细的研究。