量子态控制的Lyapunov方法分析

研究了由密度算子表示的通用量子态的自然轨迹跟踪问题。考虑基于Hilbert-Schmidt距离作为Lyapunov函数的控制设计。在扩展空间上重新定义控制动力学，使得LaSalle不变性原理即使对于非平稳目标态也能正确应用。利用LaSalle不变性原理推导了不变集的一般特征，该不变集被证明始终包含Lyapunov函数的临界点。对后者的临界点分析表明，对于通用态，它是一个Morse函数，具有$n!$个孤立临界点，包括一个全局最小值、一个全局最大值和$n!-2$个鞍点。然而，也表明系统的实际动力学不是梯度流，因此需要对动力系统临界点附近的线性化动力学进行完整的特征值分析，以确定临界点的稳定性。该分析表明，如果线性化系统可控且不变集是正则的，则通用目标态是局部渐近稳定的，并且在这种情况下，收敛到目标态（轨迹）几乎是全局的，因为所有其他临界点的稳定流形构成状态空间中测度为零的子集。另一方面，如果这些充分条件中的任何一个不满足，目标态就不再是渐近稳定的，围绕目标态会出现中心流形，控制设计不再有效。